方差分析

方差分析案例讲解及计算过程。

方差分析主要用于检验多组数据的均值是否相等，即$\mu_1 = \mu_2= … = \mu_n $。z检验和t检验主要用于检验两组数据的均值是否相等，即$\mu_1 = \mu_2 $ 。

eg: 有三种减肥食物，食用后记录了三次体重减轻的数据，假设显著性水平$ \alpha $ = 10 % ，问这三种减肥食物的效果是否有差异。

index	food1	food2	food3
1	3	5	5
2	2	3	6
3	1	4	7

数据中行数为m，列数为n。

grand mean: $ \bar{x} = \frac{3+2+1+5+3+4+5+6+7}{9} = 4 $

food1: $ \bar{x_1} = \frac{3+2+1}{3} = 2 $

food2: $ \bar{x_2} = \frac{5+3+4}{3} = 4 $

food1: $ \bar{x_3} = \frac{5+6+7}{3} = 6 $

Sum of Squares Total (SST): $$ SST = (3-4)^2 + (2-4)^2 + (1-4)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 \newline +(5-4)^2 + (6-4)^2 + (7-4)^2 = 30 $$ Degree = mn-1=8

Sum of Squares Between (SSB): $$ SSB = (2-4)^2 + (2-4)^2 + (2-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + \newline (6-4)^2 + (6-4)^2 + (6-4)^2 = 24 $$ Degree = (n-1) = 2

Sum of Squares Within (SSW): $$ SSW = (3-2)^2 + (2-2)^2 + (1-2)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 \newline +(5-6)^2 + (6-6)^2 + (7-6)^2 = 6 $$ Degree = (m-1)n = 6

$ H_0 :$ food doesn’t have a difference

$ H_1 :$ food have a difference

$$ F_statistic = \frac{\frac{SSB}{(n-1)}}{\frac{SSW}{(m-1)n}} = \frac{\frac{24}{2}}{\frac{6}{6}} = 12 $$

在零假设成立的前提下，如果得到F统计量的概率小于10%，那么我们将拒绝零假设，接受备择假设。对于显著性水平$ \alpha $ = 10% ，F统计量 = 3.46。

3.46 < < 12 ,因此，拒绝零假设，接受备择假设，即三种食物得到分数有差异。

注： 数据和内容搬运自《可汗学院：统计学》。